Question

如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求：
（1）AD与BC所成的角；
（2）AD和平面BCD所成的角；
（3）二面角A-BD-C的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，通过 

AD

与 

BC

的夹角去求AD与BC所成的角．
（2）通过求 

AD

与平面BCD的夹角去求AD和平面BCD所成的角．
（3）求出平面CBD的一个法向量为

n1

以及平面ABD的一个法向量为

n2

，求出两法向量的余弦值即可得到平面CDF与平面ABCD所成角的余弦值．

解答：解：（1）设AB=1，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标：
O（0，0，0）D（

3

2

，0，0）B（0，

1

2

，0）C（0，

3

2

，0）A（0，0，

3

2

）

AD

=（

3

2

，0，-

3

2

），

AD

•

BC

=（

3

2

，0，-

3

2

）•（0，1，0）=0
所以AD与BC所成角等于90°．
（2）由（1）可知

n1

=（0，0，1）为平面BCD的一个法向量
|cos＜

AD

，

n1

＞|=|

3 2

3 2 ×1

|=|-

2

2

|=

2

2

∴直线AD与平面BCD所成角的大小90°-45°=45°
（3）设平面ABD的法向量为

n2

=（x，y，1）则
（x，y，1）•

AB

=（x，y，1）•（0，

1

2

，-

3

2

）=0
（x，y，1）•

AD

=（x，y，1）•（

3

2

，0，-

3

2

）=0
解得  x=1，y=

3

，
则

n2

=（1，

3

，1）
显然（0，0，1）为平面BCD的法向量．
设二面角A-BD-C大小为θ，则
|cosθ|=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

1 5

=

5

5

又  二面角A-BD-C为钝二面角    
因此，二面角的余弦为-

5

5

．
（第一问中含建立坐标系2分）

点评：本题考查空间角的计算，二面角求解，考查转化的思想方法，计算能力．利用空间向量的知识，则使问题论证变成了代数运算，使人们解决问题更加方便．