Question

正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为

16

3

，底面边长为2，则该球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积．

解答： 解：如图，正四棱锥P-ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，
延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，
棱锥的体积为

16

3

，底面边长为2，则棱锥的高为4，
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA²=PF•PE，因为AE=

22+22

2

=

2

，
所以侧棱长PA=

42+2

=3

2

，PF=2R，
所以18=2R×4，所以R=

9

4

，
所以S=4πR²=

81π

4

．
故答案为：

81π

4

．

点评：本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．