Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 的离心率是 ，
抛物线E：x2=4y的焦点F是C的一个顶点．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设与坐标轴不重合的动直线l与C交于不同的两点A和B，与x轴交于点M，且 满足kPA+kPB=2kPM ， 试判断点M是否为定点？若是定点求出点M的坐标；若不是定点请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线E：x2=4y，得F（0，1），即b=1，

又 ，a2=b2+c2=1+c2，

解得：a=2，c= ．

∴椭圆方程为 ；

（2）设直线l：x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则M（t，0），

由 得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4=0，

△=16m2﹣16t2+64＞0

，

= ，x1x2=（my1+t）（my2+t）=

y1x2+y2x1=2my1y2+t（y1+y2）=

由kPA+kPB=2kPM，得

= ．

2t2+（4m﹣17）t﹣32m+8=02t2﹣17t+8+m（4t﹣32）=0

当t=8时，2t2﹣17t+8+m（4t﹣32）=0恒成立，

故M为定点（8，0）．

【解析】（1）利用已知条件可得含有a，c的方程组，解方程组可得a，c，进而可得b，从而可得椭圆C的方程；（2）设直线l，A，B的坐标，联立直线l方程和椭圆C的方程，消去x，可得y1+y2，y1y2，进而可得x1+x2，x1x2，由kPA+kPB=2kPM可得关于m的方程，进而可得t，从而可得点M的坐标．