Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（Ⅰ）若x=1是函数y=f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=ax³-3x²
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f'（1）=0，
∴a=2．
（II）①当a=0时
f（x）=-3x²在区间（-1，0）上是增函数
∴a=0符合题意；
②当a≠0时，f'（x）=3ax（x-），令f'（x）=0得：x₁=0，x₂=
当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合题意）
当a＜0时，当x∈（，0）时f'（x）≥0，
∴≤-1，∴-2≤a＜0（符合题意）
综上所述，a≥-2．
分析：（I）由x=1是函数f（x）的一个极值点则知f'（1）=0，代入导函数即可求a的值；
（II）要求函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，则要求导函数f'（x）在区间（-1，0）大于等于零即可，另外要注意对a的讨论．
点评：本题考查了利用导数研究函数在某点取得极值的条件、函数单调性的性质及证明，其中熟练掌握函数单调性与导函数符号之间的关系是解答本题的关键．另外还有分类讨论的思想，属于基础题．