Question

已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足＝2，

·＝． （1）若，求点的轨迹的方程；

（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）点为的中点，

又，

或点与点重合．∴    …………2分

又

∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，

且，

∴的轨迹方程是 …………6分

（2）

解：不存在这样一组正实数，下面证明：    ……7分

由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时，

设之为，故直线的方程为：  

，设，中点，

则，两式相减得：．

…………9分

注意到，

且  ，

 则 ，     ②

又点在直线上，，

代入②式得：．

因为弦的中点在⑴所给椭圆内，故，

这与矛盾，所以所求这组正实数不存在．       …………13分

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

则此时，

代入①式得，这与是不同两点矛盾．

综上，所求的这组正实数不存在．          ………14分