Question

【题目】已知椭圆G： 的两个焦点分别为F1和F2 ， 短轴的两个端点分别为B1和B2 ， 点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题： ①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：椭圆G： 的两个焦点分别为

F1（ ，0）和F2（﹣ ，0），

短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2（0，b），

设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|，

由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|=2a=2 ＞2b，

即有P在椭圆 + =1上．

对于①，将x换为﹣x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，

故①正确；

对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜ ，

则椭圆G上满足条件的点P有4个，

不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；

对于③，由图象可得，当P满足x2=y2，即有6﹣b2=b2，即b= 时，

|OP|取得最小值，可得x2=y2=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．

所以答案是：①③．