Question

设两个向量

e1

，

e2

满足|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

与

e2

的夹角为

π

3

，若向量2t

e1

+7

e2

与

e1

+t

e2

的夹角为钝角，则实数t的范围为

（-7，-

14

2

）∪（-

14

2

，-

1

2

）

．

Answer 1

分析：根据向量2t

e1

+7

e2

与

e1

+t

e2

的夹角为钝角，得其数量积小于0，展开后得到关于t的不等式求解t的范围，然后除掉两向量共线反向时的t的值．

解答：解：由向量2t

e1

+7

e2

与

e1

+t

e2

的夹角为钝角，得

(2t e1 +7 e2 )•( e1 +t e2 )

|2t e1 +7 e2 || e1 +t e2 |

＜0，
即(2t

e1

+7

e2

)•(

e1

+t

e2

)＜0，
2t|

e1

|2+2t2

e1

•

e2

+7

e2

•

e1

+7t|

e2

|2＜0，
化简即得2t²+15t+7＜0，
解得-7＜t＜-

1

2

，
当夹角为π时，也有(2t

e1

+7

e2

)•(

e1

+t

e2

)＜0，
但此时夹角不是钝角，
设2t

e1

+7

e2

=λ(

e1

+t

e2

)，λ＜0，
则

2t=λ 7=λt γ＜0

，∴

λ=- 14 t=- 14 2

∴所求实数t的范围是(-7，-

14

2

)∪(-

14

2

，-

1

2

)．

点评：本题考查了平面向量数量积的运算，两向量夹角为锐角，数量积大于0，夹角为钝角，数量积小于0，注意数量积小于0时夹角还有180°的情况，此题是中档题，也是易错题．