Question

【题目】函数f（x）=（k﹣2）x2+2kx﹣3． （Ⅰ）当k=4时，求f（x）在区间（﹣4，1）上的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上至少有一个零点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当k=4时，f（x）=2x2+8x﹣3=2（x+2）2﹣11，

f（x）的对称轴是x=﹣2，f（x）在（﹣4，﹣2）递减，在（﹣2，1）递增，

所以f（x）min=f（2）=﹣11，f（x）max=f（1）=7，

所以f（x）的值域为[﹣11，7）

（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上至少有一个零点，可分为以下三种情况：

①若k﹣2＞0即k＞2时，f（x）=（k﹣2）x2+2kx﹣3的对称轴方程为 ，

又f（0）=﹣3＜0，由图象可知f（x）在（0，+∞）上必有一个零点；

②若k﹣2=0即k=2时，f（x）=4x﹣3，令f（x）=0得 ，

知f（x）在（0，+∞）上必有一个零点 ；

③若k﹣2＜0即k＜2时，要使函数f（x）在（0，+∞）上至少有一个零点，

则需要满足 解得 ，

所以

综上可知，若函数f（x）在（0，+∞）上至少有一个零点，k的取值范围为

（ III）①当k=2时，f（x）=4x﹣3在区间[1，2]上单增，所以k=2成立；

②当k＞2时，∵f（0）=﹣3＜0，显然在f（x）在区间[1，2]上单增，所以k＞2也成立；

③当k＜2时，∵f（0）=﹣3，∴必有 成立，解得 ．

综上k的取值范围为

【解析】（Ⅰ）根据二次函数的性质求出函数在（﹣4，1）的值域即可；（Ⅱ）通过讨论k的范围，集合二次函数的性质，确定k的范围即可；（Ⅲ）通过讨论k的范围，判断函数的单调性，从而确定k的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的值域(求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的)，还要掌握函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)的相关知识才是答题的关键．