Question

求证：3²ⁿ⁺²-8n-9（n∈N^*）能被64整除．

Answer 1

解：（1）当n=1时，式子3²ⁿ⁺²-8n-9=3⁴-8-9=64能被64整除，命题成立．…2分
（2）假设当n=k时，3^2k+2-8k-9能够被64整除． …4分
当n=k+1时，
3^2k+4-8（k+1）-9
=9[3^2k+2-8k-9]+64k+64
=9[3^2k+2-8k-9]+64（k+1）…8分
因 为3^2k+2-8k-9能够被64整除，
∴9[3^2k+2-8k-9]+64（k+1）能够被64整除． …10分
即当n=k+1时，命题也成立．
由（1）（2）可知，3²ⁿ⁺²-8n-9（n∈N^*）能被64整除．…12分
分析：本题和正整数有关，可以利用数学归纳法来证明，当n=1时，式子3²ⁿ⁺²-8n-9=3⁴-8-9=64能被64整除，命题成立，再假设当n=k时，3^2k+2-8k-9能够被64整除，得到当n=k+1时，命题也成立．
点评：本题看出整除的性质，本题解题的关键是看出要用利用数学归纳法来证明题目，注意三个环节不要出错，本题是一个中档题目．