Question

已知数列{a_n}，如果数列{b_n}满足b₁＝a₁，b_n＝a_n＋a_n－1，n≥2，n∈N^*，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“生成数列”．
(1)若数列{a_n}的通项为a_n＝n，写出数列{a_n}的“生成数列”{b_n}的通项公式；
(2)若数列{c_n}的通项为c_n＝2n＋b(其中b是常数)，试问数列{c_n}的“生成数列”{q_n}是否是等差数列，请说明理由；
(3)已知数列{d_n}的通项为d_n＝2ⁿ＋n，求数列{d_n}的“生成数列”{p_n}的前n项和T_n.

Answer 1

(1) b_n＝2n－1(n∈N^*)
(2) 当b＝0时，{q_n}是等差数列；
当b≠0时，{q_n}不是等差数列．
(3) p_n＝，T_n＝3·2ⁿ＋n²－4

解：(1)当n≥2时，b_n＝a_n＋a_n－1＝2n－1，
当n＝1时，b₁＝a₁＝1适合上式，
∴b_n＝2n－1(n∈N^*)．
(2)q_n＝
当b＝0时，q_n＝4n－2，由于q_n＋1－q_n＝4，所以此时数列{c_n}的“生成数列”{q_n}是等差数列．
当b≠0时，由于q₁＝c₁＝2＋b，q₂＝6＋2b，q₃＝10＋2b，此时q₂－q₁≠q₃－q₂，所以数列{c_n}的“生成数列”{q_n}不是等差数列．
综上，当b＝0时，{q_n}是等差数列；
当b≠0时，{q_n}不是等差数列．
(3)p_n＝
当n>1时，T_n＝3＋(3·2＋3)＋ (3·2²＋5)＋…＋(3·2^n－1＋2n－1)，
∴T_n＝3＋3(2＋2²＋2³＋…＋2^n－1)＋(3＋5＋7＋…＋2n－1)＝3·2ⁿ＋n²－4.
又n＝1时，T₁＝3，适合上式，
∴T_n＝3·2ⁿ＋n²－4.