Question

（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，H分别是棱A₁B₁，D₁C₁上的点（点E与B₁不重合），且EH∥A₁ D₁. 过EH的平面与棱BB₁，CC₁相交，交点分别为F，G。

（I）           证明：AD∥平面EFGH；
（II）        设AB=2AA₁ ="2" a .在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁内随机选取一点。记该点取自几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A₁B₁上运动且满足EF=a时，求p的最小值.

Answer 1

（I）见解析（II）p的最小值等于7/8

本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分
解法一：
（I）                  证明：在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥A₁ D₁
又∵EH∥A₁ D₁，∴AD∥EH.
∵AD￠平面EFGH
EH 平面EFGH
∴AD//平面EFGH.
（II）               设BC=b，则长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的体积V=AB·AD·AA₁ =2a²b，
几何体EB₁F-HC₁G的体积V₁ =（1/2EB₁ ·B₁F）·B₁C₁ =b/2·EB­₁ ·B₁ F
∵EB₁² + B₁ F²=a²
∴EB₁² + B₁ F²≤ （EB₁² + B₁ F²）/2 = a² / 2,当且仅当EB­₁ =B₁ F=  a时等号成立
从而V₁ ≤ a²b /4 .
故 p=1-V₁/V ≥=
解法二：
（I）                   同解法一
（II）                设BC=b，则长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的体积V=AB·AD·AA₁ =2a²b ，
几何体EB₁F-HC₁G的体积
V₁=（1/2 EB­₁ ·B₁ F）·B₁C₁ =b/2 EB­₁ ·B₁ F
设∠B₁EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB­₁ =" a" cosθ，B₁ F ="a" sinθ
故EB­₁ ·B₁ F = a² sinθcosθ=，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
从而
∴p=1- V₁/V≥=，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
所以，p的最小值等于7/8