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    （09年莱西一中模拟文）（14分）

    已知三次函数.

    （Ⅰ）求证：函数图象的对称中心点的横坐标与导函数图象的顶点横坐标相同；

    (Ⅱ)设点为函数图象上极大值对应的点，点处的切线交函数的图象于另一点，点处的切线为,函数图象对称中心处的切线为,直线、分别与直线交于点、. 求证:.

     解析：（Ⅰ）, 是奇函数,其图象关于原点对称，

    所以函数图象的对称中心即为.                        -----2分

    ,其图象顶点坐标为

    所以函数图象的对称中心与导函数图象的顶点横坐标相同. --4分

    （Ⅱ）令得.

    当变化时,变化情况如下表:

    0

    0

    极大值

    极小值

                                                                

    时,有极大值2，

    ,曲线在点处的切线的斜率.

    直线的方程为  ------------6分

    曲线在点处的切线的斜率

    .

    直线的方程为

    又曲线在点处的切线

    的斜率.

    直线的方程为.

    联立直线的方程与直线的方程, ，解得，

    .-----------------10分 

    联立直线的方程与直线的方程, ，解得,

    .

    ,

    所以. -----------------14分

    图象如上：

     

     

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    （09年莱西一中模拟理）（14分）已知点H（－3，0），点P在轴上，点Q在轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足， .

    （Ⅰ）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C；

    （Ⅱ）过定点作直线交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若不存在，请说明理由.

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    （09年莱西一中模拟理）（12分）

    设是函数的一个极值点.

       （Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

       （Ⅱ）设，使得成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

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    （09年莱西一中模拟文）（12分）某工厂统计资料显示，产品次品率与日产量(单位件，，)的关系如下：

    1

    2

    3

    4

    …

    96

    …

    又知每生产一件正品盈利(为正常数)元，每生产一件次品就损失元.

    （Ⅰ）将该厂日盈利额(元)表示为日产量的函数；

    （Ⅱ）为了获得最大赢利，该厂的日产量应定为多少件？

    （）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （09年莱西一中模拟理）（12分）

        已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为

       （1）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；

       （2）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （09年莱西一中模拟）（12分）如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为m，圆环的圆心距离地面的高度为，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处.

    (1)试确定在时刻t时蚂蚁距离地面的高度;

    (2)画出函数在时的图象；

    (3)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过m？

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