Question

16．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）-f（x）=-2x+1，f（x）=4x有等根，g（x）是R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求g（x）的解析式；
（3）求g（x）在区间[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据系数相等求出a，b，再根据f（x）=4x有等根得△=0，求出c的值即可；（2）通过函数的奇偶性求出g（x）的表达式即可；（3）通过函数的单调性，求出函数的值域即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+bx+c，
∴f（1+x）-f（x）
=a（1+x）²+b（1+x）+c-ax²-bx-c
=2ax+a+b
=-2x+1，
∴2a=-2，a+b=1，解得：a=-1，b=2，
又f（x）=4x有等根，
即x²+2x-c=0有等根，
∴△=4+4c=0，解得：c=-1，
∴f（x）=-x²+2x-1；
（2）g（x）是R上的奇函数，
当x＞0时，g（x）=f（x）=-x²+2x-1；
设x＜0，则-x＞0，
∴g（-x）=-（-x）²-2x-1=-（x²+2x+1）=-g（x），
∴g（x）=x²+2x+1，
综上：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2x-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$；
（3）由（2）得：
在[-1，0）上：g（x）在[-1，0）递增，0≤g（x）＜1，
在x=0时：g（x）=0，
在（0，1]上：g（x）递增，-1＜g（x）≤0，
在（1，2]上：g（x）递减，-1≤g（x）≤0，
综上：g（x）在[-1，2]上的值域是：[-1，1）．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性、奇偶性问题，是一道中档题．