Question

9．已知集合A={x|$\frac{1+x}{1-x}＞0$}，B={x|（x+a）（x-a-2）＜0}．
（1）当a=0时，求A∪B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，B，即可求A∪B；
（2）若A⊆B，所以（x+a）（x-a-2）＜0对x∈（-1，1）恒成立，即可求实数a的取值范围．

解答 解：对于集合A，$\frac{1+x}{1-x}＞0$，所以-1＜x＜1--------------------------------------------------2分
（1）由a=0，对于集合B，x（x-2）＜0，所以0＜x＜2，--------------------------------------------------4分
则A∪B={x|-1＜x＜2}；--------------------------------------------------6分
（2）由A⊆B，所以（x+a）（x-a-2）＜0对x∈（-1，1）恒成立，------------------8分
设f（x）=（x+a）（x-a-2），因函数为二次函数，图象开口向上，且与x有交点--------------10分
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$--------------------------------------------------12分
所以$\left\{\begin{array}{l}{（-1+a）（-a-3）≤0}\\{（1+a）（-a-1）≤0}\end{array}\right.$
解得a≤-3或a≥1．--------------------------------------------------14分

点评 本题考查集合的运算与关系，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．