Question

有下列说法：
①S_n是数列{a_n}的前n项和，若S_n=n²+n+1，则数列{a_n}是等差数列；
②若；
③已知函数f（x）=x²-ax-2a，若存在x∈[-1，1]，使f（x）≥0成立，则a＜1；
④在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若acosA=bcosB，则△ABC为等腰直角三角形．
其中正确的有    ．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

【答案】分析：对于①，利用数列前项n和与通项的关系，计算出前3项，得到它们不成等差数列，从而数列{a_n}不是等差数列，故①不正确；对于②，可以利用不等式的基本性质加以变形，化简整理得到a为正数且b为负数，故②正确；对于③，根据不等式有实数解，计算函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值大于或等于0，得到a≤1，故③不正确；对于④，利用正弦定理进行化简，再结合二倍角的正弦公式，得到△ABC为等腰或直角三角形，故④不正确．
解答：解：对于①，根据S_n=n²+n+1，得S₁=3，S₂=7，S₃=13，
从而a₁=S₁=3，，a₂=S₂-S₁=7-3=4，a₃=S₃-S₂=13-7=6
因为前3项不成等差数列，所以数列{a_n}不是等差数列，故不①正确；
对于②，∵，
∴
又∵a＞b⇒b-a＜0
∴ab＜0⇒a、b一正一负
因为a＞b，所以a为正数，而b为负数，故②正确；
对于③，已知函数f（x）=x²-ax-2a，若存在x∈[-1，1]，使f（x）≥0成立，
说明函数在区间[-1，1]上的最大值大于或等于0，
因为函数图象是开口向上的抛物线，所有有：f（-1）≥0或f（1）≥0，
解之得a≤1，故③不正确；
对于④，在△ABC中，若acosA=bcosB，根据正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B⇒2A=2B或2A+2B=180°⇒A=B或A+B=90°
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故④不正确．
故答案为：②
点评：本题借助于判断命题的真假为载体，着重考查了不等式的基本性质、二次函数的性质、三角形的形状判断和等差数列的判定等知识点，属于中档题，也是一道综合题．