Question

已知圆C₁：x²＋y²－2y＝0，圆C₂：x²＋(y＋1)²＝4的圆心分别为C₁，C₂，P为一个动点，且直线PC₁，PC₂的斜率之积为－.
(1)求动点P的轨迹M的方程；
(2)是否存在过点A(2，0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得|C₁C|＝|C₁D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）＋y²＝1(x≠0)（2）不存在

(1)两圆的圆心坐标分别为C₁(0，1)，和C₂(0，－1)，
设动点P的坐标为(x，y)，则直线PC₁，PC₂的斜率分别为(x≠0)和 (x≠0)．
由已知条件得＝－(x≠0)，即＋y²＝1(x≠0)．
所以动点P的轨迹M的方程为＋y²＝1(x≠0)．
(2)假设存在满足条件的直线l，易知点A(2，0)在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，此时不符合题意，所以直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)．
联立方程组得(2k²＋1)x²－8k²x＋8k²－2＝0，①
依题意Δ＝－8(2k²－1)>0，解得－<k<.
当－<k<时，设交点分别为C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，CD的中点为N(x₀，y₀)，
则x₁＋x₂＝，则x₀＝＝，
所以y₀＝k(x₀－2)＝k＝.
要使|C₁C|＝|C₁D|，必须C₁N⊥l，即k·kC₁N＝－1，
所以k·＝－1，即k²－k＋＝0，
因为Δ₁＝1－4×＝－1<0，∴k²－k＋＝0无解，
所以不存在直线，使得|C₁C|＝|C₁D|，
综上所述，不存在直线l，使得|C₁C|＝|C₁D|.