Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若不经过坐标原点的直线l与圆C相切，且直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）设点P在圆C上，求点P到直线x-y-5=0距离的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）把圆的方程化为标准，找出圆心坐标和半径，根据直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点设出直线l的方程为x+y+m=0，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，让距离等于半径列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，进而确定出直线l的方程；
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x-y-5=0的距离d，所以点P到直线x-y-5=0距离的最大值为d+r，最小值为d-r，利用d与r的值代入即可求出值．

解答：解：（1）圆C的方程可化为（x+1）²+（y-2）²=2，
即圆心的坐标为（-1，2），半径为

2

，
因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，
所以可设直线l的方程为 x+y+m=0，
于是有

|-1+2+m|

1+1

=

2

，得m=1或m=-3，
因此直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0；
（2）因为圆心（-1，2）到直线x-y-5=0的距离为

|-1-2-5|

1+1

=4

2

，
所以点P到直线x-y-5=0距离的最大值与最小值依次分别为5

2

和3

2

．

点评：此题考查学生掌握直线与圆位置关系的判别方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．