Question

给出下列命题：
①函数y=sin（

3π

2

+x）是偶函数；
②函数y=cos（2x+

π

4

）图象的一条对称轴方程为x=

π

8

；
③对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；
④若对?x∈R，函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则4是该函数的一个周期．
其中真命题的个数为

3

．

Answer 1

分析：对于①，利用三角函数的诱导公式化简函数再利用偶函数的定义判断出①正确；对于②，通过整体角处理的方法求出对称轴判断出②不正确；对于③；根据奇偶性的定义判断出两个函数的奇偶性，再根据函数的单调性与导数的符号关系判断出函数的单调性进一步得到③正确；对于④，通过仿写等式得到f（x+4）=f（x）得到4是该函数的一个周期．得到④正确．

解答：解：对于①，因为y=sin（

3π

2

+x）=-cosx，是偶函数；故①正确；
对于②，因为函数y=cos（2x+

π

4

）图象的对称轴方程为2x+

π

4

=kπ，因为x=

π

8

不满足对称轴方程；故②不正确；
对于③；由于对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
所以f（x）为奇函数；g（x）为偶函数；
又因为x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；g（x）在（0，+∞）上单调递增；
所以f（x）在（-∞，0）上单调递增；g（x）在（-∞，0）上单调递减；
所以x＜0时，f′（x）＞0；g′（x）＜0；
则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；故③正确；
对于④，对?x∈R，函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=-f（x+2），所以f（x+4）=f（x）
所以4是该函数的一个周期．故④正确；
所以①③④为真命题，
故答案为：3

点评：本题考查三角函数的诱导公式及利用整体角处理的方法求三角函数的性质；考查函数的单调性与导数符号的关系，属于一道中档题．