Question

设抛物线C的方程为x²=4y，M为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（Ⅰ）当M的坐标为（0，-l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（Ⅱ）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，①
令△=（4k）²-4×4=0，解得k=±1，
代入方程①得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1）．
因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的标准方程为x²+（y-1）²=4．
∵圆心坐标为（0，1），半径为2，
∴圆与直线l：y=-1相切．…（6分）
（Ⅱ）设切点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线l上的点为M（x₀，y₀），
过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为y-y₁=k（x-x₁），因为，k=，
从而过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为y-y₁=（x-x₁），
又切线过点M（x₀，y₀），所以得y₀=x₀-，即．
同理可得过点B（x₂，y₂）的切线方程为，…（8分）
因为k_MA=，k_MB=，且x₁，x₂是方程x²-2x₀x+4y₀=0的两实根，
所以
所以k_MA•k_MB==y₀，
当y₀=-1，即m=1时，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，…（10分）
当y₀≠-1，即m≠1时，MA与MB不垂直．
综上所述，当m=1时，直线l上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，当m≠1时，直线l上不存在满足条件的点M．…（12分）
分析：（Ⅰ）设过M点的切线方程，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=-1相切；
（Ⅱ）设切点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线l上的点为M（x₀，y₀），可得x₁，x₂是方程x²-2x₀x+4y₀=0的两实根，从而k_MA•k_MB==y₀，由此可得结论．
点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的切线，考查分类讨论的数学思想，确定切线方程是关键．