Question

已知圆O的方程为x²+y²=1，直线l₁过点A（3，0），且与圆O相切．
（1）求直线l₁的方程；
（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l₂，直线PM交直线l₂于点P′，直线QM交直线l₂于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析：（1）由已知中直线l₁过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l₁的方程；
（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．

解答：解：（1）由题意，可设直线l₁的方程为y=k（x-3），
即kx-y-3k=0…（2分）
又点O（0，0）到直线l₁的距离为d=

|3k|

k2+1

=1，解得k=±

2

4

，
所以直线l₁的方程为y=±

2

4

(x-3)，
即

2

x-4y-3

2

=0或

2

x+4y-3

2

=0…（5分）
（2）对于圆O的方程x²+y²=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直线l₂方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为y=

t

s+1

(x+1)．
解方程组

x=3 y= t s+1 (x+1)

，得P/(3，

4t

s+1

)，
同理可得：Q/(3，

2t

s-1

)．…（9分）
所以圆C的圆心C的坐标为(3，

3st-t

s2-1

)，半径长为|

st-3t

s2-1

|，
又点M（s，t）在圆上，又s²+t²=1．故圆心C为(3，

1-3s

t

)，半径长|

3-s

t

|．
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-

1-3s

t

)2=(

3-s

t

)2，…（11分）
即(x-3)2+y2-

2(1-3s)y

t

+

(1-3s)2

t2

-

(3-s)2

t2

=0
即(x-3)2+y2-

2(1-3s)y

t

+

8(s2-1)

t2

=0，
又s²+t²=1
故圆C的方程为(x-3)2+y2-

2(1-3s)y

t

-8=0
所以圆C经过定点，y=0，则x=3±2

2

，
所以圆C经过定点且定点坐标为(3±2

2

，0)（15分）

点评：本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系，弦长公式等是解答本题的关键．