Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．如果函数f(x)=

x2+a

bx-c

(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0、2，且f(-2)＜-

1

2

．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，其中1＜x_i＜2（i=1，2，3），求证：△ABC是钝角三角形．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=x有两个根0、2，转化为二次方程求出b、c的值代入函数f（x）后求导，根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系求单调区间．
（2）先表示出向量BA、向量BC，根据向量的数量积运算求出角B的余弦值小于0得到B为钝角，从而得证．

解答：解：（1）设

x2+a

bx-c

=x?(1-b)x2+cx+a=0(b≠1)?

2+0=- c 1-b 2×0= a 1-b

∴

a=0 b=1+ c 2

∴f(x)=

x2

(1+ c 2 )x-c

由f(-2)=

-2

1+c

＜-

1

2

?-1＜c＜3
又∵b，c∈N*∴c=2，b=2
∴f(x)=

x2

2(x-1)

(x≠1)6′
于是f′(x)=

2x•2(x-1)-x2•2

4(x-1)2

=

x2-2x

2(x-1)2

由f'（x）＞0得x＜0或x＞2；由f'（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），
单调减区间为（0，1）和（1，2）
（2）证明：据题意A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））且x₁＜x₂＜x₃，
由（1）知f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），
∴

BA

=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，

BC

=(x3-x2，f(x3)-f(x2))∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)][f(x3)-f(x2)]14′
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0
∴

BA

•

BC

＜0，∴∠B∈(

π

2

，π)
即△ABC是钝角三角形．

点评：本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系，以及向量的数量积运算．属基础题．