Question

有下列四个命题：
①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“?x∈R使得x²+1＞3x”的否定是“?x∈R都有x²+1≤3x”；
③“若m≤1，则x²-2x+m=0有实根”的逆否命题；
④“m=-2”是“直线（m=2）x+my+1=0直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件．
其中是真命题的是

①②③

（填上你认为正确命题的序号）．

Answer 1

分析：由题意，①可由数的运算规则判断，②中特称命题的否定为全称命题；③可通过判断它的原命题的真假判断逆否命题的真假，④中可先求出“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充要条件，再进行判断．

解答：解：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；是正确命题，因为两数互为倒数，其乘积必为1；
②中命题“?x∈R，使得x²+1＞3x”为特称命题，其否定应为全称命题，注意量词的变化，故②正确；
③命题“若m≤1，则x²-2x+m=0有实根”的逆否命题是正确命题，因为原命题中，m≤1可得出△≥0，故原命题真，由此知，其逆否命题也是真命题；
④中m=-2时，两直线为（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0两直线垂直，而两直线垂直时，有（m+2）（m-2）+m（m+2）=0，解得m=1或m=-2，所以“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要条件，故④是假命题．
综上①、②、③是真命题
故答案为：①②③．

点评：本题考点是四种命题的关系，考查了四种命题的形式及真假的判断，解题的关键是熟练掌握四种命题的定义，及它们之间真假的对应关系，本题考察了推理判断的能力．