Question

6．若关于x的函数y=log_a（ax+1）（a＞0且a≠1）在[-3，-2]上单调递减，则实数a的取值范围为0＜a＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由a＞0可知内函数为增函数，再由复合函数的单调性可知外函数为定义域内的减函数，最后由真数在[-3，-2]上的最小值大于0求出a的范围，取交集得答案．

解答 解：∵a＞0，∴内函数t=ax+1在[-3，-2]上单调递增，
要使函数y=log_a（ax+1）（a＞0且a≠1）在[-3，-2]上单调递减，
则外函数y=log_at为定义域内的减函数，
∴0＜a＜1，
又由t=ax+1在[-3，-2]上单调递增，则最小值为-3a=1，
由-3a+1＞0，可得3a＜1，即a＜$\frac{1}{3}$．
综上，0$＜a＜\frac{1}{3}$．
故答案为：0＜a＜$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查复合函数的单调性，该题解法灵活，体现了逆向思维原则，避免了繁杂的分类讨论，是中档题．