Question

已知函数f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，2），
（1）求实数a；
（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；
（3）对于定义在[1，9]的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2 恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=a，则f（a）=2，从而可知f（x）过定点（a，2），再由题设即可求得a值；
（2）根据图象平移规则：左加右减，上加下减即可求得g（x）表达式，从而可得h（x）的解析式；
（3）令t=log₃x，则t∈[0，2]，不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2 恒成立，可转化为关于t的二次不等式恒成立，进而转化为求函数的最值解决，利用二次函数的性质易求其最值；

解答：解：（1）由f（x）=a^x-a+1，知令x=a，则f（a）=2，
所以f（x）恒过定点（a，2），
由题设得a=3；
（2）由（1）知f（x）=3^x-3+1，
将f（x）的图象向下平移1个单位，得到m（x）=3^x-3，
再向左平移3个单位，得到g（x）=3^x，
所以函数g（x）的反函数h（x）=log₃x．
（3）[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2，即[log₃x+2]²≤log3x2+m+2，
所以(log3x)2+2log₃x+2-m≤0，
令t=log₃x，则由x∈[1，9]得t∈[0，2]，
则不等式化为t²+2t+2-m≤0，
不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2 恒成立，等价于t²+2t+2-m≤0恒成立，
因为t²+2t+2-m=（t+1）²+1-m在[0，2]上单调递增，
所以t²+2t+2-m≤2²+2×2+2-m=10-m，
所以10-m≤0，解得m≥10．
故实数m的取值范围为：m≥10．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数图象变换及反函数，考查学生分析问题解决问题的能力，解决恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值解决．