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已知椭圆E:的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,且圆C:过A,F2两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线PF2的倾斜角为α,直线PF1的倾斜角为β,当β-α=时,证明:点P在一定圆上.
【答案】分析:(1)求出圆C与x轴交点坐标,即可确定椭圆E的方程;
(2)求出直线PF2、PF1的斜率,利用β-α=,结合两角差的正切公式,即可证得结论.
解答:(1)解:圆与x轴交点坐标为
,所以b=3,∴椭圆方程是:
(2)证明:设点P(x,y),因为F1(-,0),F2,0),
设点P(x,y),则=tanβ==tanα=
因为β-α=,所以tan(β-α)=-
因为tan(β-α)==
所以=-,化简得x2+y2-2y=3.
所以点P在定圆x2+y2-2y=3上.
点评:本题考查椭圆的方程,考查两角差的正切公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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(2)设直线PF2的倾斜角为α,直线PF1的倾斜角为β,当β-α=数学公式时,证明:点P在一定圆上.
(3)直线BC过坐标原点,与椭圆E相交于B,C,点Q为椭圆E上的一点,若直线QB,QC的斜率kQB,kQC存在且不为0,求证:kQB•kQC为定植.

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