Question

在△ABC中，已知A（1，4），B（4，1），C（0，-4），若P为△ABC所在平面一动点，则

PA

•

PB

+

PB

•

PC

+

PC

•

PA

的最小值是（　　）

• A．-

  86

  3

• B．-

  74

  3

• C．-

  62

  3

• D．-

  50

  3

Answer 1

分析：设P的坐标为（x，y），向量

PA

、

PB

、

PC

的坐标关于x、y的坐标形式，从而算出

PA

•

PB

、

PB

•

PC

和

PC

•

PA

关于x、y的表达式，进而得到

PA

•

PB

+

PB

•

PC

+

PC

•

PA

=3x²+3y²-10x-2y-12，再用配方法结合二次函数求最值的方法，即可算出所求的最小值．

解答：解：设P（x，y），可得

PA

=（1-x，4-y），

PB

=（4-x，1-y），

PC

=（-x，-4-y）
∴

PA

•

PB

=（1-x）（4-x）+（4-y）（1-y）=x²+y²-5x-5y+8

PB

•

PC

=（4-x）（-x）+（1-y）（-4-y）=x²+y²-4x+3y-4

PC

•

PA

=（1-x）（-x）+（4-y）（-4-y）=x²+y²-x-16
因此，

PA

•

PB

+

PB

•

PC

+

PC

•

PA

=3x²+3y²-10x-2y-12
∵3x²+3y²-10x-2y-12=3（x-

5

3

）²+3（y-

1

3

）²-

62

3

∴当x=

5

3

且y=

1

3

时，

PA

•

PB

+

PB

•

PC

+

PC

•

PA

的最小值为-

62

3

故选：C

点评：本题给出△ABC三个顶点的坐标，求平面ABC内的向量数量积之和的最小值，着重考查了平面向量数量积的计算公式和二次函数求最值等知识，属于中档题．