Question

已知矩形ABCD，AB=2，BC=1，沿对角线BD将△ABC折起，使二面角C-BD-A为直二面角，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为

 

．

Answer 1

分析：画出图形，作AF⊥BD，CE⊥BD，AG∥EF，AG=EF，连接CG，则∠CAG就是异面直线BD与AC所成角，解三角形求出结果即可．

解答：解：如图，作AF⊥BD，CE⊥BD，AG∥EF，AG=EF
连接CG，则∠CAG就是异面直线BD与AC所成角，
由题意，BD=

5

，AF=CE=

2 5

5

，
DF=BE=

5

5

，EF=

3 5

5

因为，二面角C-BD-A为直二面角，所以，△CEG和△AGC都是直角三角形，
CG=

2 10

5

，AC=

( 3 5 5 )2+( 2 10 5 )2

=

85

5

异面直线BD与AC所成角的余弦值：cos∠CAG=

3 5 5

85 5

=

3 17

17

故答案为：

3 17

17

点评：本题考查异面直线及其所成的角，二面角及其度量，考查作图能力，计算能力，是基础题．