Question

如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直（图1），图2为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面
图形的面积．
（Ⅱ）图3中，E为棱PB上的点，F为底面对角线AC上的点，且

BE

EP

=

CF

FA

，求证：EF∥平面PDA．

Answer 1

分析：根据图形可很容易画出俯视图．第二问要求证线面平行，先证线线平行再证线面平行（注意辅助线的利用）．

解答：解：（Ⅰ）（1）该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为6cm的正方形如图；（2分）
（4分）
其面积为6×6=36（cm²）．（6分）
（Ⅱ）在三角形PAB中，过E作EG∥PA，EG交AB于G，连接FG．（7分）
依题意：BE：EP=BG：GA=CF：FA故在三角形BCA中，FG∥BC，
在正方形ABCD中，AD∥BC，所以FG∥AD．（8分）
又FG?平面PDA，所以，FG∥平面PDA，（10分）
同理EG∥平面PDA．（11分）
由FG与EG相交，得平面EFG∥平面PDA，（12分）
又EF在平面EFG内，所以直线EF与平面PDA没有公共点
所以EF∥平面PDA．（13分）

点评：本题考查学生的空间想象能力，以及线线、线面之间关系的证明，是中档题．