Question

【题目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=DD1=2AB=2． （Ⅰ） 求证：AD1⊥B1C；
（Ⅱ） 求二面角A1﹣BD﹣C1的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则A（2，0，0），A1（2，0，2），B（2，1，0），B1（2，1，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴AD1⊥B1C．
解：（Ⅱ） D（0，0，0）， =（2，1，0）， =（2，0，2）， =（0，2，2），
设平面A1BD的法向量为 ，
则由 ，得 ，
取x1=1，得 ；
设平面C1BD的法向量为 ，
则由 ，得 ，
取x2=1，得 ，
设二面角A1﹣BD﹣C1的平面角为θ，
则 ，∴ ．，
∴二面角A1﹣BD﹣C1的正弦值为 ．
【解析】（Ⅰ）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能证明AD1⊥B1C．（2）求出平面A1BD的法向量和平面C1BD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A1﹣BD﹣C1的正弦值．
【考点精析】通过灵活运用空间中直线与直线之间的位置关系，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点即可以解答此题．