【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,是等腰三角形,且.四边形ABCD是直角梯形,,,,,.
(1)求证:平面PDC.
(2)请在图中所给的五个点P,A,B,C,D中找出两个点,使得这两点所在直线与直线BC垂直,并给出证明.
(3)当平面平面ABCD时,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解答;(2),证明见解答;(3).
【解析】
(1)由已知,即可证明结论;
(2)根据已知条件排除,只有可能与垂直,根据已知可证;
(3)利用垂直关系,建立空间直角坐标系,求出坐标和平面PAB的法向量,即可求解.
(1)平面平面,
平面;
(2),证明如下:
取中点,连,
,
,,
平面平面,
平面,;
(3)平面平面ABCD,平面平面ABCD,
平面平面,
.四边形ABCD是直角梯形,,,,
,,
以为坐标原点,以,过点与平行的直线分别为轴,
建立空间直角坐标系,则,
,
设平面的法向量为,
则,即,
,令,则,
平面一个法向量为,
设直线PC与平面PAB所成角为,
,
直线直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,直线l与曲线C交于不同的两点A,B.
(1)求曲线C的参数方程;
(2)若点P为直线与x轴的交点,求的取值范围.
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【题目】下列说法错误的是( )
A.命题“若,则”的逆否命题为“若,则”
B.命题“,”是假命题
C.若命题、均为假命题,则命题为真命题
D.若是定义在R上的函数,则“”是“是奇函数”的必要不允分条件
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【题目】新高考最大的特点就是取消文理科,除语文、数学、外语之外,从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全理(选择物理、化学、生物)的选择是否与性别有关,觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生,女生各人进行模拟选科.经统计,选择全理的人数比不选全理的人数多人.
(1)请完成下面的列联表;
(2)估计有多大把握认为选择全理与性别有关,并说明理由;
(3)现从这名学生中已经选取了男生名,女生名进行座谈,从中抽取名代表作问卷调查,求至少抽到一名女生的概率.
附:,其中.
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【题目】以下四个结论,正确的是( )
①质检员从匀速传递的产品生产流水线上,每间隔15分钟抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;
②在回归直线方程中,当变量每增加一个单位时,变量增加0.13个单位;
③在频率分布直方图中,所有小矩形的面积之和是1;
④对于两个分类变量与,求出其统计量的观测值,观测值越大,我们认为“与有关系”的把握程度就越大.
A.②④B.②③C.①③D.③④
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【题目】(本小题满分10分)选修4—4,坐标系与参数方程
已知曲线,直线:(为参数).
(I)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(II)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,的最大值与最小值.
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【题目】2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情,生猪大量病死,存栏量急剧下降,一时间猪肉价格暴涨,其他肉类价格也跟着大幅上扬,严重影响了居民的生活.为了解决这个问题,我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情,扩大生产;另一方面积极向多个国家开放猪肉进口,扩大肉源,确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势,决定响应政府号召,扩大生产决策层调阅了该企业过去生产相关数据,就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表:
生猪存栏数量(千头) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
头猪每天平均成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.5 |
(1)研究员甲根据以上数据认为与具有线性回归关系,请帮他求出关于的线.性回归方程(保留小数点后两位有效数字)
(2)研究员乙根据以上数据得出与的回归模型:.为了评价两种模型的拟合效果,请完成以下任务:
①完成下表(计算结果精确到0.01元)(备注:称为相应于点的残差);
生猪存栏数量(千头) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
头猪每天平均成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.5 | |
模型甲 | 估计值 | |||||
残差 | ||||||
模型乙 | 估计值 | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.76 | 1.4 |
残差 | 0 | 0 | 0 | 0.14 | 0.1 |
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及,并通过比较的大小,判断哪个模型拟合效果更好.
(3)根据市场调查,生猪存栏数量达到1万头时,饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元;生猪存栏数量达到1.2万头时,饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元若按(2)中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本,问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由.(利润=收入-成本)
参考公式:.
参考数据:.
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【题目】如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求点C到平面C1DE的距离.
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