Question

【题目】已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）求函数f(x)的单调区间和极大值；

（3）证明：对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝x3－3x；（2）f(x)的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．极大值为f(－1)＝2；（3）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）分析已知条件，函数为奇函数，即，可得，“当x＝1时，f(x)取得极值－2”得，可解得；（2）由确定增区间，由得减区间，从而确定极值点；（3）要证题设命题，只要求出在上的最大值和最小值，证明最大值－最小值≤4即可，为此可由第（2）小题的结论很快求得．

试题解析：（1）∵f(x)是R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d，

∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．

∴f(x)＝ax3＋cx，f ′(x)＝3ax2＋c，

又当x＝1时，f(x)取得极值－2，

∴，即解得

∴f(x)＝x3－3x.

（2）f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝±1，

当－1<x<1时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；

∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．

因此，f(x)在x＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝2.

（3）由(2)知，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，且f(x)在区间[－1,1]上的最大值为M＝f(－1)＝2.最小值为m＝f(1)＝－2.∴对任意x1、x2∈(－1,1)，

|f(x1)－f(x2)|<M－m＝4成立．

即对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．