Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosAsinC，又△ABC的面积等于6．
（1）求△ABC的三边之长；
（2）设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB、BC、CA的距离分别为d₁、d₂、d₃，求d₁+d₂+d₃的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理将题中条件角的关系转化成边的关系，得到直角三角形ABC，再结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．
（2）欲求d₁+d₂+d₃的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求d₁+d₂+d₃的范围转化为故d1+d2+d3=

x+2y+12

5

．最后结合线性规划的思想方法求出范围即可．

解答：解：（1）设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，
∵sinB=cosAsinC，∴cosA=

sinB

sinC

，由正弦定理有cosA=

b

c

，
又由余弦定理有cosA=

b2+c2-a2

2bc

，∴

b

c

=

b2+c2-a2

2bc

，即a²+b²=c²，
所以△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°（3分）
又

AB • AC = AB |• AC |cos A=9(1) S△ABC= 1 2 AB |? AC |sin A=6(2)

（1）÷（2），得tanA=

4

3

=

a

b

（4分）
令a=4k，b=3k（k＞0）
则S△ABC=

1

2

ab=6?k=1∴三边长分别为3，4，5（6分）
（2）以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，
则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y-12=0．
设P点坐标为（x，y），则由P到三边AB、BC、AB的距离为d₁，d₂和d₃
可知d1+d2+d3=x+y+

|4x+3y-12|

5

，（8分）
且

x≥0 y≥0 4x+3y-12≤0.

故d1+d2+d3=

x+2y+12

5

．（10分）
令m=x+2y，由线性规划知识可知，如图：
当直线分别经过点A、O时，z取得最大、最小值．
故0≤m≤8，故d₁+d₂+d₃的取值范围是[

12

5

，4]（12分）

点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，属于中档题．