【题目】已知函数
,且满足
.
(1)判断函数在
上的单调性,并用定义证明;
(2)设函数,求
在区间
上的最大值;
(3)若存在实数m,使得关于x的方程恰有4个不同的正根,求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析(2) 时,
. (3)
【解析】试题分析:(1)根据确定a.再任取两数,作差,通分并根据分子分母符号确定差的符号,最后根据定义确定函数单调性(2)先根据绝对值定义将函数化为分段函数,都可化为二次函数,再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值,最后取两个最大值中较大值(3)先对方程变形得
,设
,转化为方程方程
在
有两个不等的根
,根据二次函数图像,得实根分布条件,解得实数m的取值范围.
试题解析:(1) 由,得
或0.
因为,所以
,所以
.
当时,
,任取
,且
,
则
,
因为,则
,
,
所以在
上为增函数;
(2),
当时,
,
因为,所以当
时,
;
当时,
,
因为时,所以
,所以当
时,
;
综上,当即
时,
.
(3)由(1)可知, 在
上为增函数,当
时,
.
同理可得在
上为减函数,当
时,
.
方程可化为
,
即.
设,方程可化为
.
要使原方程有4个不同的正根,
则方程在
有两个不等的根
,
则有,解得
,
所以实数m的取值范围为.
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【题目】如图 1,在直角梯形中,
,且
.现以
为一边向外作正方形
,然后沿边
将正方形
翻折,使
平面与平面
垂直,
为
的中点,如图 2.
(1)求证: 平面
;
(2)求证: 平面
;
(3)求与平面
所成角的正弦值.
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【题目】已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
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【题目】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大,每辆车的月租金应该定为__________.
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【题目】已知函数,
.
在
上有最大值9,最小值4.
(1)求实数的值;
(2)若不等式在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若方程有三个不同的实数根,求实数
的取值范围.
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【题目】如图, 是圆柱的母线,
是
的直径,
是底面圆周上异于
的任意一点,
,
.
(1)求证:
(2)当三棱锥的体积最大时,求
与平面
所成角的大小;
(3)上是否存在一点
,使二面角
的平面角为45°?若存在,求出此时
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数(
)
(1)若,用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数
在[0,π]上的图象.
(2)若偶函数,求
(3)在(2)的前提下,将函数的图象向右平移
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数
的图象,求
在
的单调递减区间.
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【题目】已知圆.(14分)
(1)此方程表示圆,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点,且(O为坐标原点),求m的值;
(3)在(2)的条件下,求以为直径的圆的方程.
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