Question

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（1，1），离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l不经过点P，斜率为$\frac{1}{3}$，与椭圆交于不同两点A、B．
①求证：直线PA、PB的斜率之和为定值；
②若△PAB是直角三角形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）①设直线l的方程为y=$\frac{1}{3}$x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆方程联立可得：4x²+6tx+9t²-12=0，△＞0，利用根与系数的关系代入k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-1}$=0为定值．
②由①可知：k_PA+k_PB=0，由△PAB是直角三角形，可得k_PA•k_PB=-1，化为y₁=x₁，代入椭圆方程解出A，即可得出．

解答 （1）解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（1，1），离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b²=$\frac{4}{3}$，$c=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$．
（2）①证明：设直线l的方程为y=$\frac{1}{3}$x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+t}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为4x²+6tx+9t²-12=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-3t}{2}$，x₁x₂=$\frac{9{t}^{2}-12}{4}$．
∴y₁y₂=$（\frac{1}{3}{x}_{1}+t）（\frac{1}{3}{x}_{2}+t）$=$\frac{1}{9}{x}_{1}{x}_{2}$+$\frac{t}{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+t²，
y₁+y₂=$\frac{1}{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+2t，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=$\frac{9{t}^{2}-12}{4}$-$\frac{-3t}{2}$+1=$\frac{9{t}^{2}+6t-8}{4}$．
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{（\frac{1}{3}{x}_{1}+t-1）（{x}_{2}-1）+（\frac{1}{3}{x}_{2}+t-1）（{x}_{1}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{\frac{2}{3}{x}_{1}{x}_{2}+\frac{3t-4}{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+（2-2t）}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{\frac{3{t}^{2}-4}{2}-\frac{t（3t-4）}{2}+（2-2t）}{\frac{9{t}^{2}+6t-8}{4}}$=0，
∴k_PA+k_PB=0为定值．
②由①可知：k_PA+k_PB=0，
由△PAB是直角三角形，∴k_PA•k_PB=-1，
取k_PA=-k_PB=1，
∴$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}$=1，化为y₁=x₁，代入椭圆方程可得${x}_{1}^{2}+3{x}_{1}^{2}=4$，解得x₁=-1，∴A（-1，-1），
∴-1=-$\frac{1}{3}$+t，解得t=$-\frac{2}{3}$，
∴直线l的方程为：y=$\frac{1}{3}x$-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．