Question

（理）设6张卡片上分别写有函数f₁（x）=x、f₂（x）=x²、f₃（x）=x³、f₄（x）=sinx、f₅（x）=cosx和f₆（x）=lg（|x|+1）．
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数
的概率；
（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
（文）已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ） 求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ） 是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer 1

分析：理：（Ⅰ）先计算出从六个函数任取两个函数的取法总数，再计算事件“从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数”的取法，只有从三个奇函数中取两个才符合题意，故此事件包含的基本事件数是C₃²，由公式计算出概率即可．
（II）ξ可取1，2，3，4，分别计算出变量取每个值的概率，得出分布列，再由公式求出期望；
文：（Ⅰ）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，不妨令垂直于底面的侧棱为PC，则知棱锥的高为PC=2，由公式求出体积；
（Ⅱ） 由此几何体的几何特征知，不论点E在何位置，都有BD⊥AE，可由线面垂直的性质证得BD⊥AE．

解答：（理）解：（Ⅰ）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，则P(A)=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

．…（6分）
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4． P(ξ=1)=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，P(ξ=2)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 3

C 1 5

=

3

10

，P(ξ=3)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 3

C 1 4

=

3

20

，P(ξ=4)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 1

C 1 4

•

C 1 3

C 1 3

=

1

20

…（10分）
故ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	3 10	3 10	3 20	1 20

…（12分）Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

，从而ξ的数学期望为

7

4

．…（14分）

（文）解：（Ⅰ） 由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2…（3分）
∴VP-ABCD=

1

3

S正方形ABCD•PC=

1

3

×12×2=

2

3

，即四棱锥P-ABCD的体积为

2

3

…（6分）
（Ⅱ） 不论点E在何位置，都有BD⊥AE…（7分）
证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PC⊥底面ABCD，且BD⊥平面ABCD，∴BD⊥PC…（10分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC…（12分）
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC．∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
…（14分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解答本题关键是理解所研究的事件以及事件概率的求法公式，期望求法公式，本题是概率中考查比较全面的题型，涉及到了事件的性质，概率的求法，期望的求法，是近几年高考中概率考试比较常见的题型