Question

已知函数f（x）=x²-bx+a²（a，b∈R）
（1）若a∈{0，1，2，3}，b∈{0，1，2，3}，求方程f（x）=0有实数根的概率；
（2）若a从区间[0，3]内任取一个数，b从区间[0，2]内任取一个数，求方程f（x）=0有实数根的概率．

Answer 1

分析：（1）设方程x²-bx+a²=0有实根为事件A，先求出数对（a，b）的个数，再由方程有根，必有△=b²-4a²≥0．及b≥2a，由此关系计数得出符合的数对（a，b）的个数，再由公式求出概率．
（2）此题是一个几何概率模型，设方程x²-bx+a²=0有实根为事件B．先求出区域D={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}的面积，再求出程有实根对应区域为d={（a，b）|b≥2a}与区域D的公共部分的面积，再有公式P(B)=

Sd

SD

求出概率

解答：解：（1）设方程x²-bx+a²=0有实根为事件A．
数对（a，b）共有（0，0），（0，1）…（2，3），（3，2），（3，3）计16对
若方程有实根，则有△=b²-4a²≥0．及b≥2a
则满足题意的数对（a，b）只有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3）计6对
所以方程有实根的概率P(A)=

6

16

=

3

8

（2）设方程x²-bx+a²=0有实根为事件B．D={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，所以S_D=3×2=6
方程有实根对应区域为d={（a，b）|b≥2a}，Sd=

1

2

×1×2=1
所以方程有实根的概率P(B)=

Sd

SD

=

1

6

．

点评：本题考查等可能事件的概率，解题的关键是理解题意，得出（1）是一个古典概率模型问题，（2）中是一个几何概率模型，由相应的公式计算出概率