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已知抛物线W:y=ax2经过点A(2,1),过A作倾斜角互补的两条不同直线l1,l2
(Ⅰ)求抛物线W的方程及准线方程;
(Ⅱ)当直线l1与抛物线W相切时,求直线l2的方程
(Ⅲ)设直线l1,l2分别交抛物线W于B,C两点(均不与A重合),若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切,求直线BC的方程.
(Ⅰ)由于A(2,1)在抛物线y=ax2上,所以1=4a,即a=
1
4

故所求抛物线的方程为y=
1
4
x2
,其准线方程为y=-1.

(Ⅱ)当直线l1与抛物线相切时,由y'|x=2=1,可知直线l1的斜率为1,其倾斜角为45°,
所以直线l2的倾斜角为135°,故直线l2的斜率为-1,所以l2的方程为y=-x+3

(Ⅲ)不妨设直线AB的方程为y-1=k(x-2)(k>0),
y-1=k(x-2)
y=
1
4
x2
得x2-4kx+8k-4=0,
易知该方程有一个根为2,所以另一个根为4k-2,
所以点B的坐标为(4k-2,4k2-4k+1),
同理可得C点坐标为(-4k-2,4k2+4k+1).
所以|BC|=
[(4k-2)-(-4k-2)]2+[(4k2-4k+1)-(4k2+4k+1)]2
=
(8k)2+(-8k)2
=8
2
k
,.
线段BC的中点为(-2,4k2+1),因为以BC为直径的圆与准线y=-1相切,
所以4k2+1-(-1)=4
2
k
,由于k>0,解得k=
2
2

此时,点B的坐标为(2
2
-2,3-2
2
)
,点C的坐标为(-2
2
-2,3+2
2
)

直线BC的斜率为
(3+2
2
)-(3-2
2
)
(-2
2
-2)-(2
2
-2)
=-1

所以,BC的方程为y-(3-2
2
)=-[x-(2
2
-2)]
,即x+y-1=0.
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1
16
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1
16
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1
x1
+
1
x2
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6
m
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6
m
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x2
27
+
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36
=1
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x2
m2
+
y2
n2
=1
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2
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