Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点．
（1）求AD₁与DB所成角的大小；
（2）求证DB⊥平面AEA₁．

Answer 1

解：以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），E（0，2，1）…（2分）
（1），，，…（4分）
…（6分）
∴AD₁与DB所成的角为60⁰…（7分）
（2），，，…（9分）
∴，，…（11分）
∴DB⊥AE，DB⊥AA₁，
即DB⊥平面AEA₁内的两条相交直线，∴DB⊥平面AEA₁…（12分）
分析：（1）以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，分别求出AD₁与DB的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到AD₁与DB所成角的大小；
（2）分别求出向量，，的坐标，进而根据，，得到DB⊥AE，DB⊥AA₁，结合线面垂直的判定定理即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，其中解答的关键是建立空间坐标系，将异面直线夹角问题，线线垂直问题转化为向量夹角问题．