Question

如图，在几何体P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2．
（1）当AD=2时，求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若PC与AD所成角为45°，求几何体P-ABCD的体积．

Answer 1

解：（1）当AD=2时，四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC，（2分）
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，（4分）
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD?平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC；（6分）

（2）若PC与AD成45°角，AD∥BC，则∠PCB=45°．（8分）
∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB，PB?平面PAB
∴BC⊥PB（10分）
∴∠CPB=90°-45°=45°，∴
∴几何体P-ABCD的体积为．（12分）
分析：（1）要证平面PBD⊥平面PAC，只需证明平面ABCD内的直线BD，垂直平面PBD必定两条相交直线PA、AC即可；
（2）PC与AD所成角为45°，证明BC⊥平面PAB，求出底面ABCD的面积和高，求几何体P-ABCD的体积．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．