Question

14．设a＞0且a≠1，函数f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-2x}$有最大值，则不等式log_a（x-2）＞0的解集是（2，3）．

Answer 1

分析 令t=x²-2x=（x-1）²-1，可得x=1时，t有最小值，由指数函数的单调性可得0＜a＜1，运用对数函数的单调性可得不等式0＜x-2＜1，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：令t=x²-2x=（x-1）²-1，
当x=1时，t有最小值-1；
由函数f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-2x}$有最大值，
由指数函数的单调性，可得0＜a＜1，
不等式log_a（x-2）＞0，即为
0＜x-2＜1，解得2＜x＜3，
即有不等式的解集为（2，3）．
故答案为：（2，3）．

点评 本题考查对数不等式的解法，考查指数函数和对数函数的单调性的运用，同时考查二次函数的最值的求法，属于中档题．