Question

19．在直角三角形ABC中，C=90°，B=30°，AB=4，M是AB的中点，将三角形ACM沿CM翻折成直二面角，则三棱锥A-CBM的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{52π}{3}$
• B． $\frac{18π}{5}$
• C． $\frac{14π}{3}$
• D． 12π

Answer 1

分析 先求出△BCM的外接圆的半径，再利用勾股定理建立方程，求出球的半径，即可求出三棱锥A-CBM的外接球的表面积．

解答 解：由题意，△BCM中，BC=2$\sqrt{3}$，∠BMC=120°．
设△BCM的外接圆的半径为r，则2r=$\frac{2\sqrt{3}}{sin120°}$=4．
设球心到平面BCD的距离为d，球的半径为R，则R²=4+d²=（$\sqrt{3}$）²+（$\sqrt{3}$-d）²，
∴d=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，R²=$\frac{13}{3}$，
∴三棱锥A-CBM的外接球的表面积为4πR²=$\frac{52π}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查三棱锥A-CBM的外接球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径，是关键．