Question

设命题p：函数f（x）=x³-ax-1在区间[-1，1]上单调递减；命题q：函数y=ln（x²+ax+1）的值域是R．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，3]

B．（-∞，-2]∪[2，3）

C．（2，3]

D．[3，+∞）

Answer 1

分析：p为真需导数f′（x）=3x²-a≤0在[-1，1]恒成立，可得a的范围；q为真必须使x²+ax+1能取满全体正数，可得△=a²-4≥0，解之可得a的范围，由题意可知p，q一真一假，由集合的交并运算可得答案．

解答：解：若命题p：函数f（x）=x³-ax-1在区间[-1，1]上单调递减，为真命题，
则其导数f′（x）=3x²-a≤0在[-1，1]恒成立，故a≥（3x²）_max=3，即a≥3；
若命题q：函数y=㏑（x²+ax+1）的值域是R，为真命题，
则必须使x²+ax+1能取满全体正数，故△=a²-4≥0，解得a≤-2，或a≥2；
因为命题p或q为真命题，p且q为假命题，所以p，q一真一假，
当p真，q假时，可得{a|a≥3}∩{a|-2＜a＜2}=∅，
当p假，q真时，可得{a|a＜3}∩{a|a≤-2，或a≥2}={a|a≤-2，或2≤a＜3}
综上可得实数a的取值范围是：（-∞，-2]∪[2，3）
故选B

点评：本题考查复合命题的真假，涉及函数的单调性和恒成立问题，属中档题．