Question

已知函数f(x)=

x+1-a

a-x

，a∈R．利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：对于定义域中给定的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n∈N^*），…如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}．
（1）求实数a的值；
（2）若x₁=1，求（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）的值；
（3）设T_n=（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）（n∈N^*），试问：是否存在n使得T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006成立，若存在，试确定n及相应的x₁的值；若不存在，请说明理由？

Answer 1

分析：（1）根据题意可知，当x≠a时方程（1+a）x=a²+a-1无解，所以对于任意x∈R，（1+a）x=a²+a-1无解．由此能求出a．
（2）当a=-1时，对于x₁≠-1，有x2=f(x1)=-

x1+2

x1+1

，x3=f(x2)=-

x2+2

x2+1

=x1，同理得x_n+2=x_n对一切n∈N^*都成立，即数列{x_n}是一个以2为周期的周期数列．由此能求出（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）的值．
（3）由Tn=

1+x1，n=4k-3 -1，n=4k-2 -(1+x1)，n=4k-1 1，n=4k

(k∈N*)，知T_k+T_k+1+T_k+2+T_k+3=0（k∈N^*），若T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006，则T_n+T_n+1+T_n+2=2006（n∈N^*），由此能求出当n=4k，x₁=2005或n=4k-2，x₁=-2007时T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006．

解答：解：（1）根据题意可知，x_i≠a（i=1，2，3，…），
则x≠a，
且方程

x+1-a

a-x

=a无解，--（2分）
即当x≠a时方程（1+a）x=a²+a-1无解，
由于x=a不是方程（1+a）x=a²+a-1的解，
所以对于任意x∈R，（1+a）x=a²+a-1无解．
则a+1=0，且 a²+a-1≠0，
故a=-1．-----（6分）
（2）当a=-1时，对于x₁≠-1，
有x2=f(x1)=-

x1+2

x1+1

，x3=f(x2)=-

x2+2

x2+1

=x1，
同理得x_n+2=x_n对一切n∈N^*都成立，
即数列{x_n}是一个以2为周期的周期数列．--（10分）
则x2n-1=1，x2n=-

3

2

，
故(x1+1)(x2+1)…(xn+1)=

2，n=4k-3 -1，n=4k-2 -2，n=4k-1 1，n=4k

(k∈N*)-----（12分）
（3）由（2）易知：Tn=

1+x1，n=4k-3 -1，n=4k-2 -(1+x1)，n=4k-1 1，n=4k

(k∈N*)-----（14分）
则T_k+T_k+1+T_k+2+T_k+3=0（k∈N^*），
若T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006，
则T_n+T_n+1+T_n+2=2006（n∈N^*），
又Tn+Tn+1+Tn+2=

1+x1，n=4k -1，n=4k-3 -(1+x1)，n=4k-2 1，n=4k-1

(k∈N*)-----（18分）
故当n=4k，x₁=2005或n=4k-2，x₁=-2007时，
T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006-（20分）

点评：本题考查函数与数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．