Question

已知函数f(x)＝x²＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．
(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)²；
(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c²－b²)恒成立，求M的最小值．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x²＋bx＋c，即x²＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)²－4(c－b)≤0，从而c≥＋1.于是c≥1，
且c≥2 ＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.
故当x≥0时，有(x＋c)²－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)².
(2)由(1)知c≥|b|.当c＞|b|时，有
M≥
令t＝，则－1＜t＜1，＝2－.
而函数g(t)＝2－ (－1＜t＜1)的值域是.
因此，当c＞|b|时，M的取值集合为.
当c＝|b|时，由(1)知b＝±2，c＝2.此时f(c)－f(b)＝－8或0，c²－b²＝0，从而f(c)－f(b)≤ (c²－b²)恒成立．
综上所述，M的最小值为.