Question

9．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求cos（$\frac{5π}{6}$-2α）的值．

Answer 1

分析 由同角三角函数的基本关系和二倍角公式可得sin2α和cos2α，代入两角差的余弦公式可得．

解答 解：∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴$cosα=-\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{5}}}{5}）}^2}}=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
由二倍角是可得sin2α=2sinαcosα=-$\frac{4}{5}$，$cos2α=2{cos^2}α-1=\frac{3}{5}$，
∴$cos（\frac{5π}{6}-2α）=cos\frac{5π}{6}cos2α+sin\frac{5π}{6}sin2α=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×（-\frac{4}{5}）=-\frac{{3\sqrt{3}+4}}{10}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属基础题．