Question

12．已知等差数列{a_n}满足：a₁=2，且a₁、a₂、a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S_n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的前n项和公式可得S_n，再利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=2，且a₁、a₂、a₅成等比数列．
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₅，即（2+d）²=2（2+4d），解得d=0或4．
∴a_n=2，或a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（2）当a_n=2时，S_n=2n，不存在正整数n，使得S_n＞60n+800．
当a_n=4n-2时，S_n=$\frac{n（2+4n-2）}{2}$=2n²，假设存在正整数n，使得S_n＞60n+800，即2n²＞60n+800，化为n²-30n-400＞0，
解得n＞40，
∴n的最小值为41．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．