Question

y=f（x）是关于x=3对称的奇函数，f（1）=1，cosx-sinx=

3 2

5

，若t=

15sin2x

cos(x+ π 4 )

，则f（t）=

 

．

Answer 1

分析：由cosx-sinx=

3 2

5

，利用辅助角公式易得cos（x+

π

4

）=

3

5

，代入易求t的值，又由y=f（x）是关于x=3对称的奇函数，则f（x）是一个周期为6的周期函数，结合f（1）=1即可求出f（t）的值．

解答：解：∵cosx-sinx=

3 2

5

，
∴cos（x+

π

4

）=

3

5

又∵sin2x=

7

25

，
∴

15sin2x

cos(x+ π 4 )

=7．
又∵函数y=f（x）是关于x=3对称的奇函数，
∴f[

15sin2x

cos(x+ π 4 )

]=f（7）=f（3+4）=f（3-4）=f（-1）=-f（1）=-1．

点评：利用函数的周期性解题要注意：对于任意实数x，①若f（x+T）=f（x），则T为函数的周期；②若f（x+T）=-f（x），则2T为函数的周期；③若（a，y），（b，y）分别为函数的两个对称中心则T=2|（a-b）|④对于任意x∈R，f(x+1)=

1-f(x)

1+f(x)

，则T=2⑤若（a，y）为函数的对称中心，x=b为函数的对称轴，则T=4|（a-b）|