Question

（本小题满分12分）

已知函数f (x) = ln(e^x + a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，。

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数。

Answer 1

（本小题满分12分）

（Ⅰ）由于f (x) 是R上的奇函数，f (0) = 0，故a = 0．--------------------3分

（Ⅱ）由（1）知．∴ =，，

当x∈(0，e)时，，∴在(0，e]上为增函数；

当x∈(e，+∞)时，，∴在（e，+∞)上为减函数；

当x = e时取极大值．    -----------------------------------------7分

（Ⅲ）令h(x) = x² – 2ex + m，即，

当x = e时, 取最小值．

由（Ⅱ）知,当x = e时取最大值．-------------------------------9分

∴当时，即时方程无解．

当时，即时方程有一解．

当时，即时方程有二解．----------------------------------12分