Question

3．已知函数$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}，（x∈R）$．
（Ⅰ）判定函数f（x）在区间[-1，1]上的单调性，并用定义法加以证明；
（Ⅱ）对于任意n个实数a₁，a₂，…，a_n（可以相等），求满足|f（a₁）|+|f（a₂）|+…+|f（a_n）|≥50成立的正整数n的最小值；
（Ⅲ）设函数${g_n}（x）=f（x）-f{（{n^2}）_{\;}}（n∈{N^*}）$在区间[0，1]上的零点为x=x_n，试探究是否存在正整数n，使得x₁+x₂+…+x_n≥2？若存在，求正整数n的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈[-1，1]，然后作差，通分，根据-1≤x₁＜x₂≤1便可得出f（x₁）＜f（x₂），这样便可得出f（x）在[-1，1]上单调递增；
（Ⅱ）根据基本不等式便可得到$|f（x）|≤\frac{1}{2}$，从而得到$\frac{n}{2}≥|f（{a}_{1}）|+|f（{a}_{2}）|+…+|f（{a}_{n}）|≥50$，这样便可n≥100，从而便可得出n的最小值为100；
（Ⅲ）可以求出$f（{n}^{2}）=f（\frac{1}{{n}^{2}}）$，从而得出方程f（x）=f（n²）的解为x=$\frac{1}{{n}^{2}}$，再根据f（x）在[0，1]上单调递增，便可得出上面方程只有一解，从而便有${x}_{n}=\frac{1}{{n}^{2}}$，进行放缩和裂项可得，$\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，从而便可求出${x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}＜2-\frac{1}{n}＜2$，这样便可得出结论为：不存在满足x₁+x₂+…+x_n≥2的n．

解答 解：（Ⅰ）取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{x_1}{{{x_1}^2+1}}-\frac{x_2}{{{x_2}^2+1}}=\frac{{（{x_1}{x_2}-1）（{x_2}-{x_1}）}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}$；
∵-1≤x₁＜x₂≤1；
∴x₂-x₁＞0，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[-1，1]上单调递增；
（Ⅱ）$|f（x）|=\frac{|x|}{{x}^{2}+1}$，1）当x≠0时，$|f（x）|=\frac{|x|}{{x}^{2}+1}=\frac{1}{|x|+\frac{1}{|x|}}≤\frac{1}{2}$，当且仅当x=±1时取“=”；
2）当x=0时，|f（0）|=0；
∴?x∈R，$|f（x）{|}_{max}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{n}{2}≥|f（{a}_{1}）|+|f（{a}_{2}）|+…+|f（{a}_{n}）|≥50$；
∴n≥100；
当a_i∈{-1，1}，i=1，2，…，100时取“=”；
∴n_min=100；
（Ⅲ）$f（\frac{1}{x}）=\frac{\frac{1}{x}}{（\frac{1}{x}）^{2}+1}=\frac{x}{{x}^{2}+1}=f（x）$；
∴$f（\frac{1}{n^2}）=f（{n^2}）$，由${g_n}（x）=0?f（x）=f（{n^2}）$在x∈[0，1]上有解$x=\frac{1}{n^2}$；
又（I）知f（x）在x∈[0，1]上单调递增；
∴f（x）=f（n²）在[0，1]只有这一解；
∴${x}_{n}=\frac{1}{{n}^{2}}$，?当n=1时，x₁=1＜2；?当n≥2时：
${x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}=1+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$$＜1+\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{（n-1）n}$=$1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=$2-\frac{1}{n}$＜2；
∴对任意n∈N^*，都有x₁+x₂+…+x_n＜2；
∴满足x₁+x₂+…+x_n≥2的正整数n不存在．

点评 考查根据单调性定义判断一个函数的单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后为分式的一般要通分，根据基本不等式求函数的取值范围，以及清楚单调函数若有零点时只有一个，放缩法和裂项法在不等式及求和中的应用．