Question

如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
（1）若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；
（2）用反证法证明：直线AN与BE是两条异面直线．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步利用勾股定理求出线段MN的长．
（2）直接假设直线AN与BE不是两条异面直线，则：AN和BE是共面直线．利用线面平行的判定和性质，和平行线的传递性得出矛盾，得出假设错误，进一步说明AN和BE是异面直线．

解答： 解：（1）已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
取CD的中点G，连接MG，NG，
由于：M，G分别是AB，CD的中点，
所以：MG∥BC
平面ABCD⊥平面DCEF，
BC⊥CD，MG∥BC，
所以：MG⊥平面DCEF
MG⊥GN，
所以：△MGN是直角三角形．
所以：MN²=MG²+NG²，CD=2
MG=2，GD=DN=1
解得：MN=

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（2）证明：假设直线AN与BE不是两条异面直线，
则：AN和BE是共面直线．
则：平面ABEN与平面CDEF相交于NE．
由于AB?平面CDEF，AB∥平面CDEF，
所以：AB∥NE
由于：AB∥CD∥EF
则：NE∥EF
由于NE与EF相交于E，
所以与NE∥EF相矛盾．
所以假设错误．
故：直线AN与BE是两条异面直线．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直之间的转化，勾股定理的应用．反证法的应用．属于基础题型．